A lottó témakörében a telitalálatos szelvény kitöltésének matematikai esélyeiről sok cikk született már. Mivel az elmúlt hetekben átlag feletti nyereményeket lehetett elérni a magyar lottójátékokon is, ezért ennek apropóján a konkrét nyeremény összegek tükrében - a blog tematikájához illően pénzügyi megközelítésben - mutatom be, hogy ezek az esélyek mit is jelentenek a gyakorlatban: milyen megtérülésre számíthatott az a lottózó, aki a 33. héten játszott?

A bejegyzés következő részében pedig azt a népszerű állítást nézzük majd meg közelebbről, kicsit alternatív szemmel is, amely a nagyon alacsony nyerési esélyek miatt a „hülyék adójának” is nevezi a lottót.

Lottómatek – alapok

A különböző lottó játékokon az esélyek eltérőek, alapvetően attól függ, hogy a számhuzás során hányféle kombináció létezhet. Általánosságban az N különböző elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációinak számát keressük, amely a népszerű magyar lottójátékok esetében az alábbi:

• 5ös lottó: (90 x 89 x 88 x 87 x 86) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) ~ 43.95millió kombináció
• 6os lottó: (45 x 44 x 43 x 42 x 41 x 40) / (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) ~ 8.15millió kombináció
• skandináv lottó: (35 x 34 x 33 x 32 x 31 x 30 x 29) / (7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) ~ 6.72millió kombináció

Vagyis a fentiek alapján az ötös lottón 1 szelvénnyel 1:44millióhoz (emberi léptékkel mérve ~0) az esélye, hogy telitalálatod lesz. A skandináv lottón viszont mivel 2x7 számot húznak ki, az esély dupla, tehát 1:3.36millióhoz.

A kevesebb találat elérésének matematikája kicsit bonyolultabb, a lényeg, hogy pl. az ötös lottón 4 számot eltalálni az ötből 425 féle képpen lehet: (5!/4!) x (85!/84!) = 425. Ebből kifolyólag 425x nagyobb az esélyünk, vagyis 425:43.95millió = 1:103410.

Hogyan minimalizáld a veszteséged?

Az egyszerű és statisztikailag igazolható válasz: ne vegyél lottót! De aki idáig eljutott a bejegyzés olvasásával, az valószínűleg abba a többségbe tartozik, aki legalább alkalmanként – akárcsak jómagam –  befektet 1-2 lottószelvénybe. És ha már így döntünk, akkor érdemes az alábbiak tudatában meghozni a döntést.

Először is meg kell vizsgálni a különböző lottójátékok nyerési esélyeit (nemcsak a főnyereményre vonatkozóan!). Ez alapján magyar piacon legkedveltebb három játék közül a skandináv lottó az, ahol a legjobbak az esélyek (1:27-hez az esély, hogy valamit nyerünk!), míg az ötös lottón a legalacsonyabb. Ugyanakkor az esélyek mellett vizsgálni kell a várható nyereményeket is, mert egy adott héten a főnyeremények összege változtathatja a képet! A következőekben emiatt a nyerési esélyekkel súlyozott várható nyereményeket (ld. a táblában a súlyozott várható oszlopot) figyelembe véve vizsgáltam a lehetséges kimeneteleket, .

Mivel az elmúlt héten már az hatos lottó főnyereménye is milliárd forint felett volt és az ötös pedig hetek óta több milliárd, ezért konkrét példán a 33. héten várható nyereményekkel modelleztem a várható veszteségeket. Még mielőtt továbblépnénk, két fontos megjegyzés:

• a várható nyeremények – tekintve hogy szerencsejátékról beszélünk – nagyon bizonytalanok, függ attól is hogy hányan játszanak adott héten és hány nyertes szelvény van adott találati osztályban (pl. az ötös lottón a 4 találatos szelvény nyereménye az elmúlt hetekben 0.5 és 6 millió forint között mozgott… emiatt a számításhoz a nem telitalálatos szelvények várható nyereményei a korábbi hetek/hónapok átlagos nyereményei alapján kerültek meghatározásra)
• azt is figyelembe kell venni, hogy a számítás a 33. heti várható főnyeremények alapján készült, ami kiugró mértékű, mivel pl. az ötös és hatos lottón hónapok óta halmozódik a nyereményalap…  2010ig visszamenőleg vizsgálva a főnyereményeket egy „átlagos” héten ennél sokkal  kisebb a várható nyeremények összege, ezért a számítást a 2010-2017 közötti telitalálatos főnyeremények átlagával is elvégeztem (ld. jobb oldal)
• ráadásul nagyon fontos kiemelni, hogy a lentiekben statisztikai átlagokkal számolok!!! vagyis a valószínűséggel súlyozott várható kifizetéseknél egy olyan nagy sokaságra vonatkozó statisztikai összegről van szó, ami akkor igaz, ha nagyon nagyon sok ember, nagyon nagyon sok héten át játszik együtt, mindenki beszáll 1-1 szelvénnyel és a nyereményeket egyenlően elosztják…
• de a te konkrét esetedben pl. ha az ötös lottón játszol a hétvégén, akkor a várható főnyeremény súlyozott átlagos 65 forintját nem kapod meg: ha csak a teltilalátos szelvénnyel számolunk, akkor vagy kapsz 0 forintot (kb. 100% eséllyel) vagy milliárdos leszel (kb. 0% eséllyel)... 

És akkor nézzük a fő konklúziókat:

• az ötös lottón az esélyekkel súlyozott várható kifizetés 141 Ft-volt, mivel egy játék ára 250 forint, ezért a befektetés statisztikai alapon 56%-ban tud megtérülni (44% veszteség egy 1 hétre szóló befektetésen, ami összemérhető súlyos tőzsdei krachok veszteségével…  sőt a Dow Jones 1987 október 19-én, a Fekete Hétfőn „csak” 23% esett)
• a skandináv lottón ehhez képest csak 20% a statisztikailag valószínűsíthető veszteség az aktuális átlag feletti nyeremény mellett
• viszont egy sokkal átlagosabbnak tekinthető, alacsonyabb nyereményalap esetén a várható veszteségek jelentősen nőnek -> az átlagos főnyereményeket figyelembe véve 41,1% a megtérülés az ötös lottón és 44,5% a skandináv lottón
• vagyis az átlagoknál már konvergál egymás felé a lottójátékok súlyozott kifizetése, így egy „átlagos” héten szinte mindegy is melyik lottót játszod meg (ha csak a főnyereményekre hajtasz, akkor kicsit árnyaltabb a kép)!
• ahhoz, hogy az ötös lottón biztosan legyen 5 találatos szelvényünk ~11mrd forintot kellene befektetni, vagyis 11mrd feletti nyereménynél lenne (szinte) biztos a megtérülés....
• ....ha más nem játszana: mert ekkora nyereménynél, annyira megnőne a lottózási kedv, hogy mások is rengeteg szelvényt adnának fel, így jelentősen nőne az esélye, hogy a 11mrd-os főnyereményen akár 2-3 nyertes is osztozna (az pedig rendkívül érzékenyen érintene bárkit, ha 11milliárd forint elköltése után például egy 12milliárdos nyereményt kellene harmadolni)

Végezetül az én stoploss startégiám - ezt az önkénetesen fizetendő "adót" csak bizony szemmel látható nyereményösszeg felett, korlátozott összegben fizetem be (néhanapján differenciált portfoliót kialakítva az 5ös és 6os lottó között).